용어의 정의 적도의의 drift alignment 과정에서 사용하는 관측대상의 방향을 s ^ \hat s s ^ p ^ \hat p p ^ t ^ \hat t t ^ s ^ , p ^ , t ^ \hat s, \hat p, \hat t s ^ , p ^ , t ^ φ \varphi φ s ^ \hat s s ^ p ^ \hat p p ^ θ p \theta_p θ p s ^ \hat s s ^ t ^ \hat t t ^ θ t \theta_t θ t p ^ \hat p p ^ t ^ \hat t t ^ ψ \psi ψ φ , θ p , θ t , ψ \varphi, \theta_p, \theta_t, \psi φ , θ p , θ t , ψ [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ] φ \varphi φ ψ \psi ψ
φ \varphi φ ψ \psi ψ 관측대상의 진행 방향 및 적도의의 이동 방향이 각각 s ^ × p ^ \hat s\times \hat p s ^ × p ^ s ^ × t ^ \hat s\times \hat t s ^ × t ^
( s ^ × p ^ ) ⋅ ( s ^ × t ^ ) = ∣ s ^ × p ^ ∣ ∣ s ^ × t ^ ∣ cos φ = sin θ p sin θ t cos φ . \begin{aligned}
(\hat s\times \hat p)\cdot (\hat s\times \hat t)
&= |\hat s\times \hat p| |\hat s\times \hat t|\cos\varphi \\
&= \sin\theta_p \sin\theta_t \cos\varphi.
\end{aligned} ( s ^ × p ^ ) ⋅ ( s ^ × t ^ ) = ∣ s ^ × p ^ ∣ ∣ s ^ × t ^ ∣ cos φ = sin θ p sin θ t cos φ . 이때 스칼라 사중적 (scalar quadruple product)의 공식에 의하여, 유클리드 공간의 임의의 3차원 벡터 a ⃗ , b ⃗ , c ⃗ , d ⃗ \vec a, \vec b, \vec c, \vec d a , b , c , d
( a ⃗ × b ⃗ ) ⋅ ( c ⃗ × d ⃗ ) = ( a ⃗ ⋅ c ⃗ ) ( b ⃗ ⋅ d ⃗ ) − ( a ⃗ ⋅ d ⃗ ) ( b ⃗ ⋅ c ⃗ ) (\vec a\times \vec b)\cdot(\vec c\times \vec d) = (\vec a\cdot \vec c)(\vec b\cdot \vec d) - (\vec a\cdot \vec d)(\vec b\cdot \vec c) ( a × b ) ⋅ ( c × d ) = ( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) 이므로
( s ^ × p ^ ) ⋅ ( s ^ × t ^ ) = ( s ^ ⋅ s ^ ) ( p ^ ⋅ t ^ ) − ( s ^ ⋅ t ^ ) ( p ^ ⋅ s ^ ) = cos ψ − cos θ p cos θ t \begin{aligned}
(\hat s\times \hat p)\cdot (\hat s\times \hat t)
&= (\hat s\cdot \hat s)(\hat p\cdot \hat t) - (\hat s\cdot \hat t)(\hat p\cdot \hat s) \\
&= \cos\psi - \cos\theta_p \cos\theta_t
\end{aligned} ( s ^ × p ^ ) ⋅ ( s ^ × t ^ ) = ( s ^ ⋅ s ^ ) ( p ^ ⋅ t ^ ) − ( s ^ ⋅ t ^ ) ( p ^ ⋅ s ^ ) = cos ψ − cos θ p cos θ t 이다. 즉
cos ψ = sin θ p sin θ t cos φ + cos θ p cos θ t \cos\psi = \sin\theta_p\sin\theta_t\cos\varphi + \cos\theta_p\cos\theta_t cos ψ = sin θ p sin θ t cos φ + cos θ p cos θ t 를 얻는다.
관측대상이 천구의 적도에 있는 경우 관측대상이 천구의 적도에 있다면 θ p = π / 2 \theta_p = \pi/2 θ p = π / 2
cos ψ = sin θ t cos φ \cos\psi = \sin\theta_t\cos\varphi cos ψ = sin θ t cos φ 인데, ψ < π / 2 \psi < \pi/2 ψ < π / 2 cos φ > 0 \cos\varphi > 0 cos φ > 0 sin θ t cos φ ≤ cos φ \sin\theta_t\cos\varphi\leq\cos\varphi sin θ t cos φ ≤ cos φ ψ ≥ φ \psi\geq\varphi ψ ≥ φ
이때 구면 상에서의 삼각부등식(triangle inequality )을 생각해 보면 0 ≤ ∣ θ t − π / 2 ∣ ≤ ψ 0\leq |\theta_t-\pi/2|\leq\psi 0 ≤ ∣ θ t − π / 2 ∣ ≤ ψ
θ t = π / 2 ± ψ \theta_t = \pi/2\pm\psi θ t = π / 2 ± ψ 이는 별의 위치가 적도의가 틀어진 방향과 나란한 경우이다. 이때 ψ < π / 2 \psi < \pi/2 ψ < π / 2 cos φ = 1 \cos\varphi = 1 cos φ = 1 φ = 0 \varphi = 0 φ = 0
θ t = π / 2 \theta_t = \pi/2 θ t = π / 2 이는 별의 위치가 적도의가 틀어진 방향과 맞지 않는 경우이다. 이때 cos ψ = cos φ \cos\psi = \cos\varphi cos ψ = cos φ ψ = φ \psi = \varphi ψ = φ