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레버리지 ETF에 관한 연구

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요약

레버리지 ETF에 관한 연구입니다.

주의. 이하의 내용은 투자 권유가 아니며 정보의 정확성을 보증하지 않는다.

어떤 시점에서 p1p_1이었던 주가 지수가 이후 p2p_2가 되었을 때 상대적 변화(relative change)는 다음과 같이 계산한다.

α=(p2−p1)/p1=p2/p1−1.\alpha = (p_2 - p_1) / p_1 = p_2/p_1 - 1.

kk배짜리 레버리지 ETF(leveraged ETF)의 경우 기준이 되는 지수의 일일 단위 상대적 변화가 α\alpha일 때 당일에 kαk\alpha만큼의 상대적 변화를 발생시키는 것을 목적으로 한다. 즉 kk배짜리 레버리지 ETF의 상대적 변화를 αk\alpha^k라 하면 다음과 같다.

αk=kα.\alpha^k = k\alpha.

이때 β\beta를 다음과 같이 정의하자.

β=lg⁡(p2/p1).\beta = \lg(p_2/p_1).

단 lg⁡\lg는 이진 로그이다. 이때 다음이 성립함을 알 수 있다.

α=2β−1,βk=lg⁡(k(2β−1)+1).\begin{aligned} \alpha &= 2^\beta - 1, \\ \beta^k &= \lg(k(2^\beta - 1) + 1). \end{aligned}

단 βk\beta^k는 kk배짜리의 β\beta 값이다. 이때 그래프를 몇 개 그려 본 후 다음과 같은 관측을 해볼 수 있다.

  1. β\beta 값에 따른 βk\beta^k 값의 그래프는 kβk\beta의 그래프와 원점에서 접한다.

  2. 원점 근처에서는 βk\beta^k와 kβk\beta 값이 비슷하다.

  3. 0<k<10<k<1이 아닌 이상 다음이 성립한다.

    βk≤kβ.\beta^k\leq k\beta.

kk가 0 이상 1 이하가 아니라고 하고 ρk\rho^k를 다음과 같이 정의하자.

ρk=kβ−βk.\rho^k = k\beta - \beta^k.

다음이 성립한다.

lg⁡(pn/p1)=∑β,lg⁡(pnk/p1k)=∑βk=∑(kβ−ρk)=k(lg⁡(pn/p1)−∑ρk/k).\begin{aligned} \lg(p_n/p_1) &= \sum\beta, \\ \lg(p^k_n/p^k_1) &= \sum\beta^k \\ &= \sum(k\beta - \rho^k) \\ &= k\left(\lg(p_n/p_1) - \sum\rho^k/k\right). \end{aligned}

단 pkp^k는 kk배짜리의 가격이다. 즉 레버리지 ETF는 지수와 별개로 ∑ρk\sum\rho^k만큼 떨어지게 되며, 그렇지 않았다면 지수가 aa배 될 때 가격이 aka^k배 되었을 것이다. 나스닥 100 기준 연별 ∑β\sum\beta 및 −∑ρk/k  (k=2,3)-\sum\rho^k/k\;(k = 2, 3) 값은 다음과 같다.

연도

∑β\sum\beta

−∑ρ2/2-\sum\rho^2/2

−∑ρ3/3-\sum\rho^3/3

(∑ρ3/3)/(∑ρ2/2)\left(\sum\rho^3/3\right)/\left(\sum\rho^2/2\right)

1986

9.6%

−1.6%

−3.2%

2.0135

1987

14.4%

−9.0%

−19.0%

2.1123

1988

18.3%

−2.1%

−4.3%

2.0191

1989

33.5%

−1.3%

−2.7%

2.0075

1990

−15.9%

−3.4%

−6.8%

2.0081

1991

72.2%

−3.2%

−6.3%

1.9985

1992

12.3%

−2.8%

−5.6%

1.9981

1993

14.5%

−2.1%

−4.2%

2.0041

1994

2.2%

−2.0%

−4.0%

2.0019

1995

51.1%

−3.6%

−7.2%

2.0025

1996

51.1%

−3.7%

−7.5%

2.0055

1997

27.1%

−5.3%

−10.7%

2.0056

1998

89.0%

−7.7%

−15.5%

2.0161

1999

101.4%

−8.1%

−16.2%

1.9991

2000

−66.3%

−23.1%

−46.5%

2.0115

2001

−57.0%

−21.9%

−44.0%

2.0085

2002

−68.0%

−13.3%

−26.6%

1.9997

2003

57.7%

−4.7%

−9.4%

1.9950

2004

14.3%

−2.4%

−4.9%

2.0010

2005

2.1%

−1.4%

−2.8%

2.0008

2006

9.5%

−1.8%

−3.5%

1.9994

2007

24.7%

−2.5%

−5.0%

2.0049

2008

−78.3%

−13.1%

−26.4%

2.0226

2009

61.9%

−5.1%

−10.1%

1.9973

2010

25.4%

−2.7%

−5.5%

2.0042

2011

3.8%

−4.1%

−8.3%

2.0116

2012

22.4%

−1.7%

−3.4%

1.9978

2013

43.3%

−1.1%

−2.2%

1.9990

2014

23.8%

−1.4%

−2.9%

2.0039

2015

11.7%

−2.3%

−4.6%

2.0038

2016

8.3%

−1.9%

−3.8%

2.0091

2017

39.5%

−0.8%

−1.6%

2.0024

2018

−1.5%

−3.7%

−7.5%

2.0104

2019

46.4%

−2.0%

−3.9%

2.0036

2020

56.1%

−9.9%

−20.2%

2.0414

2021

34.1%

−2.5%

−5.0%

2.0033

폭락을 맞으면 많이 깎이는 경향이 있음을 알 수 있다. 또 (∑ρ3/3)/(∑ρ2/2)\left(\sum\rho^3/3\right)/\left(\sum\rho^2/2\right) 값은 보통 2에 가깝다.