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Maxwell 방정식에 관해 이해한 바

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요약

Maxwell 방정식에 관해 이해한 바입니다.

미분 연산자에 관한 몇 가지 항등식

  1. ∇⋅(∇×A)=0.\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A) = 0.

  2. ∇×(∇V)=0.\nabla\times(\nabla V) = \mathbf 0.

  3. ∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A.\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2\mathbf A. 단 ∇2A\nabla^2\mathbf A는 A\mathbf A의 벡터 라플라시안이다.

전기장 및 자기장을 바탕으로 기술한 Maxwell 방정식

SI 단위계를 사용하는 경우 Maxwell 방정식은 전기장 및 자기장을 바탕으로 아래와 같이 기술할 수 있다.

∇⋅E=ρε0,(1)∇⋅B=0,(2)∇×E=−∂B∂t,(3)∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t(4).\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf E &= \frac{\rho}{\varepsilon_0},&&(1) \\ \nabla\cdot\mathbf B &= 0,&&(2) \\ \nabla\times\mathbf E &= -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},&&(3) \\ \nabla\times\mathbf B &= \mu_0\mathbf J + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}&&(4). \end{aligned}

스칼라 퍼텐셜 및 벡터 퍼텐셜을 바탕으로 기술한 Maxwell 방정식

(2)(2)로부터 ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B = 0 (magnetostatic?)이므로, ∇×A=B\nabla\times\mathbf A = \mathbf B인 3차원 벡터 A\mathbf A가 존재한다는 듯하다. 이를 벡터 퍼텐셜이라 한다.

또 (3)(3)에 ∇×A=B\nabla\times\mathbf A = \mathbf B를 대입하면

∇×E=−∂∂t(∇×A)=−∇×∂A∂t,\begin{aligned} \nabla\times\mathbf E &= -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf A) \\ &= -\nabla\times\frac{\partial\mathbf A}{\partial t}, \end{aligned}

∇×(E+∂A∂t)=0\nabla\times\left(\mathbf E + \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\right) = 0

임을 알 수 있다. 이때 E+∂A/∂t\mathbf E + \partial\mathbf A/\partial t의 curl이 0이므로 −∇V=E+∂A/∂t-\nabla V = \mathbf E + \partial\mathbf A/\partial t인 스칼라 VV가 존재한다는 듯하다. 이를 스칼라 퍼텐셜(전위)이라 한다. ∇×E=0\nabla\times\mathbf E = 0 (electrostatic?)인 경우에는 특별히 −∇V=E-\nabla V = \mathbf E가 됨을 알 수 있다.

스칼라 퍼텐셜 및 벡터 퍼텐셜의 정의로부터 아래 등식이 성립한다.

E=−∇V−∂A∂t,(5)B=∇×A.(6)\begin{aligned} \mathbf E &= -\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},&&(5) \\ \mathbf B &= \nabla\times\mathbf A.&&(6) \end{aligned}

이때 미분 연산자에 관한 항등식에 의하여

∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0,∇×E=∇×(−∇V−∂A∂t)=−∇×∇V−∂∂t(∇×A)=−∂B∂t\begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf B &= \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A) = 0, \\ \nabla\times\mathbf E &= \nabla\times\left(-\nabla V - \frac{\partial\mathbf A}{\partial t}\right) \\ &= -\nabla\times\nabla V - \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf A) = -\frac{\partial\mathbf B}{\partial t} \end{aligned}

이므로 (2),(3)(2), (3)이 자연스럽게 성립한다. 또 (1),(4)(1), (4)에 (5),(6)(5), (6)을 대입하여 정리하면 각각 아래와 같은 식을 얻는다.

−∂∂t(∇⋅A)−∇2V=ρ/ε0,μ0ε0∂2A∂t2−∇2A+∇(∇⋅A+μ0ε0∂V∂t)=μ0J.\begin{gathered} -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\mathbf A) - \nabla^2V = \rho/\varepsilon_0, \\ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla^2\mathbf A + \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf A + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}\right) = \mu_0\mathbf J. \end{gathered}

이때 VV와 A\mathbf A 간의 관계를

∇⋅A+μ0ε0∂V∂t=0\nabla\cdot\mathbf A + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} = 0

(Lorenz gauge condition)로 두면 위 2개 식은

μ0ε0∂2V∂t2−∇2V=ρ/ε0,μ0ε0∂2A∂t2−∇2A=μ0J\begin{gathered} \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 V}{\partial t^2} - \nabla^2V = \rho/\varepsilon_0, \\ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla^2\mathbf A = \mu_0\mathbf J \end{gathered}

로 간소화되는데, 위 두 식의 대칭성으로부터 이들을 하나의 식으로 표현할 수 있어 보인다.

전자기 퍼텐셜을 바탕으로 기술한 Maxwell 방정식

전자기 퍼텐셜(electromagnetic 4-potential) AαA^\alpha 및 4-current JαJ^\alpha를 아래와 같이 정의하자.

Aα=(V/c,A)=(V/c,Ax,Ay,Az),Jα=(cρ,J)=(cρ,Jx,Jy,Jz).\begin{aligned} A^\alpha &= (V/c, \mathbf A) = (V/c, A_x, A_y, A_z), \\ J^\alpha &= (c\rho, \mathbf J) = (c\rho, J_x, J_y, J_z). \end{aligned}

이때

A=(Ax,Ay,Az), J=(Jx,Jy,Jz)\mathbf A = (A_x, A_y, A_z),\ \mathbf J = (J_x, J_y, J_z)

이다. 위 정의로부터 Maxwell 방정식은 아래 1개 방정식으로 요약될 수 있다.

□Aα=μ0Jα.\Box A^\alpha = \mu_0 J^\alpha.

c2=1/μ0ε0c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0임에 주목하라. 이때 □\Box는 d'Alembert 연산자로,

□=∂μ∂μ=1c2∂2∂t2−∂2∂x2−∂2∂y2−∂2∂z2=1c2∂2∂t2−∇2\Box = \partial^\mu\partial_\mu = \frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac1{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2

이다.

전자기 텐서

(TODO)

참고자료

https://youtu.be/ljMKoTdm3g4

(TODO)